lunes, 30 de junio de 2008

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Geometría analítica

Plano
Ecuación de una recta (m es la pendiente y n la ordenada en el origen)
y = m x + n
Ecuación de una recta conocido un punto P(xo,yo) y la pendiente m
y - yo = m (x - xo)
Ecuación de la recta tangente a una curva f(x) en un punto P(xo,yo)
y - yo = f´ (xo) (x - xo)
Relación entre las pendientes m1 y m2 de dos rectas perpendiculares
m1 = - 1 / m2
Ángulo formado por dos rectas a partir de sus pendientes
tg j = (m1 - m2) / [ 1 + (m1 m2) ]
Distancia entre dos puntos: Po (xo,yo) y P1 (x1,y1)
d = [ (x1 - xo)2 + (y1 - yo)2 ]1/2
Distancia del punto P (xo,yo) a la recta A x + B y + C = 0
d = A xo + B yo + C / (A2 + B2)1/2
Puntos notables de un triángulo
Incentro
Punto donde se cortan las bisectrices
Circuncentro
Punto donde se cortan las mediatrices
Baricentro
Punto en el que se cortan las medianas
Ortocentro
Punto en el que se cortan las alturas
Espacio
recta que pasa por el punto P (xo, yo, zo) y tiene por vector director el v (vx, vy, vz)
Ecuación vectorial

(x, y, z) = (xo, yo, zo) + t (vx, vy, vz) donde es el parámetro
Ecuaciones paramétricas
x = xo + t vx y = yo + t vy z = zo + t vz
Ecuaciones contínuas
(x - xo) / vx = (y - yo) / vy = (z - zo) / vz
Recta como intersección de dos planos
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
Cálculo vectorial
Vectores
a = ax i + ay j + azk

Módulo de un vector
a = a = [ ax2 + ay2 + az2 ] 1/2
Suma de dos vectores a y b
a + b = (ax + bx) i + ( ay + by) j + (az + bz) k
Diferencia de dos vectores a y b
a - b = (ax - bx) i + ( ay - by) j + (az - bz) k
Producto de un vector a por un escalar a
a a = (a ax i + a ay j + a azk)
Producto escalar
Definición
a . b = a b cos q ===> da un número
A partir de las componentes
a . b = ax bx + ay by + az bz
Conmutativo
a . b = b . a
Producto escalar de dos vectores perpendiculares
a . b = 0 si a ^ b
Ángulo que forman dos vectores
cos q = a . b / (a b)
Producto vectorial
Definición
a x b ===> da un vector
Módulo
a x b = a b sen q
Dirección
Perpendicular al plano formado por los dos vectores
Sentido
Aplicando la regla del sacacorchos al llevar a sobre b teniendo ambos un origen común
Anticonmutativo
a x b = - b x a

Interpretación geométrica
El módulo del producto vectorial nos da el área del rectángulo limitado por los dos vectores
Producto escalar de dos vectores paralelos
a x b = 0 si a b
Producto mixto
Definición
a (b x c) ===> da un número
Interpretación geométrica
Volumen del paralelepípedo formado por los vectores a, b y c
1/6 del volumen del tetraedro formado por los vectores a, b y c
Sistemas de Coordenadas en el espacio
Cartesianas: x, y, z
Elemento diferencial de volumen:
dV = dx dy dz
Rango de variación de las variables para recorrer todo el espacio:
x: -¥ a +¥ y: -¥ a +¥ z: -¥ a +¥
Cilíndricas: r, q (ángulo con el eje x), z
Paso de cilíndricas a cartesianas:
x = r cos q y = r sen q z = z
Paso de cartesianas cilíndricas:
r = (x2 + y2)1/2 q = arc tg (y / x) z = z
Jacobiano: J = D(x, y, z) / D (r, q, z)

J = r2
Elemento diferencial de volumen:
d V = r2 dr dq dz
Rango:
r: 0 a +¥ q: 0 a 2 p z: -¥ a +¥
Esféricas: r, j (ángulo con el eje z), q (ángulo de la proyección sobre el plano z = 0 con el eje x)
Paso de esféricas a cartesianas:
x = r sen j cos q y = r sen j sen q z = r cos j
Paso de cartesianas a esféricas:
r = (x2 + y2 + z2)1/2 q = arc tg (y / x) j = arc cos [ z / (x2 + y2 + z2)1/2 ]
Jacobiano: J = D(x, y, z) / D (r, j, q)

J = r2 sen j
Elemento diferencial de volumen:
d V = r2 sen j dr dq dj
Rango:
r: 0 a +¥ q: 0 a 2 p j: 0 a p:
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